FPB DAN KPK (MTK 7)

Materi tentang FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) sangat penting untuk dipahami oleh siswa SMP. Berikut adalah penjelasan singkat mengenai FPB dan KPK, serta contoh soalnya:

FPB (Faktor Persekutuan Terbesar)

FPB dari dua bilangan adalah bilangan terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan tersebut. Langkah-langkah menentukan FPB adalah sebagai berikut:

1. Tentukan faktor dari masing-masing bilangan.
2. Cari faktor yang sama dari kedua bilangan.
3. Pilih faktor terbesar dari faktor-faktor yang sama tersebut.

Contoh: Tentukan FPB dari 24 dan 36.

1. Faktor dari 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
2. Faktor dari 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
3. Faktor yang sama: 1, 2, 3, 4, 6, 12
4. FPB = 12

KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)

KPK dari dua bilangan adalah bilangan terkecil yang merupakan kelipatan dari kedua bilangan tersebut. Langkah-langkah menentukan KPK:

1. Tentukan kelipatan dari masing-masing bilangan.
2. Cari kelipatan yang sama dari kedua bilangan.
3. Pilih kelipatan terkecil dari kelipatan-kelipatan yang sama.

Contoh: Tentukan KPK dari 8 dan 12.

1. Kelipatan dari 8: 8, 16, 24, 32, 40, ...
2. Kelipatan dari 12: 12, 24, 36, 48, ...
3. Kelipatan yang sama: 24
4. KPK = 24

Cara Cepat Menggunakan Faktorisasi Prima

Untuk menentukan FPB dan KPK dengan cara yang lebih cepat, kita bisa menggunakan faktorisasi prima.

Langkah untuk FPB:

1. Faktorkan masing-masing bilangan ke dalam bentuk prima.
2. Pilih faktor prima yang sama dan ambil pangkat terkecil dari faktor tersebut.

Langkah untuk KPK:

1. Faktorkan masing-masing bilangan ke dalam bentuk prima.
2. Pilih semua faktor prima yang muncul (baik yang sama maupun berbeda), dan ambil pangkat terbesar dari setiap faktor.

Contoh: Tentukan FPB dan KPK dari 18 dan 24 dengan faktorisasi prima:

• 18 = 2 × 3²
• 24 = 2³ × 3

FPB: Ambil faktor yang sama dengan pangkat terkecil:

• Faktor prima yang sama adalah 2 dan 3.
• Pangkat terkecil untuk 2 adalah 2, dan untuk 3 adalah 1.
• Jadi, FPB = 2 × 3 = 6.

KPK: Ambil semua faktor dengan pangkat terbesar:

• Pangkat terbesar untuk 2 adalah 3, dan untuk 3 adalah 2.
• Jadi, KPK = 2³ × 3² = 72.

FPB

A. Langkah-langkah Menemukan FPB dengan Pohon Faktor

1. Buat Pohon Faktor untuk Masing-masing Bilangan

   • Pohon faktor digunakan untuk memecah suatu bilangan menjadi faktor-faktor primanya. Setiap bilangan akan dipecah sampai hanya tersisa faktor-faktor prima.

2. Identifikasi Faktor Prima

   • Setelah pohon faktor dibuat untuk kedua bilangan, catat semua faktor prima dari masing-masing bilangan.

3. Cari Faktor Prima yang Sama

   • Dari faktor-faktor prima yang ditemukan, pilih faktor-faktor yang sama dari kedua bilangan.

4. Kalikan Faktor Prima yang Sama

   • Kalikan faktor prima yang sama tersebut. Hasil perkalian ini adalah FPB dari kedua bilangan.

Contoh Soal: Temukan FPB dari 24 dan 36

1. Buat Pohon Faktor

• Untuk 24, kita buat pohon faktornya:

  • 24 /
    2 12 /
    2 6 /
    2 3

  Jadi, faktorisasi prima dari 24 adalah 2³ × 3.

• Untuk 36, kita buat pohon faktornya:

  • 36 /
    2 18 /
    2 9 /
    3 3

  Jadi, faktorisasi prima dari 36 adalah 2² × 3².

2. Identifikasi Faktor Prima

• Faktor prima dari 24: 2³ × 3
• Faktor prima dari 36: 2² × 3²

3. Cari Faktor Prima yang Sama

• Faktor prima yang sama dari 24 dan 36 adalah 2 dan 3.
• Untuk 2, pilih pangkat terkecil, yaitu 2².
• Untuk 3, pilih pangkat terkecil, yaitu 3.

4. Kalikan Faktor Prima yang Sama

• FPB = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

Pohon Faktor Visual:

24

├── 2

└── 12

    ├── 2

    └── 6

        ├── 2

        └── 3

36

├── 2

└── 18

    ├── 2

    └── 9

        ├── 3

        └── 3

Latihan

1. Tentukan FPB dari 18 dan 24.
2. Tentukan FPB dari 36 dan 48.
3. Tentukan FPB dari 45 dan 75.
4. Tentukan FPB dari 56 dan 98.
5. Tentukan FPB dari 81 dan 54.

Berikut pembahasan menemukan FPB menggunakan faktorisasi prima tanpa pohon faktor:

---

1. FPB dari 18 dan 24

• Faktorisasi prima dari 18 = 2 × 3²
• Faktorisasi prima dari 24 = 2³ × 3

Langkah:
Cari faktor prima yang sama dari kedua bilangan dan ambil pangkat terkecil.

• Faktor 2: pangkat terkecil = 2¹
• Faktor 3: pangkat terkecil = 3¹

FPB: 2 × 3 = 6

---

2. FPB dari 36 dan 48

• Faktorisasi prima dari 36 = 2² × 3²
• Faktorisasi prima dari 48 = 2⁴ × 3

Langkah:
Cari faktor prima yang sama dan ambil pangkat terkecil.

• Faktor 2: pangkat terkecil = 2²
• Faktor 3: pangkat terkecil = 3¹

FPB: 2² × 3 = 12

---

3. FPB dari 45 dan 75

• Faktorisasi prima dari 45 = 3² × 5
• Faktorisasi prima dari 75 = 3 × 5²

Langkah:
Cari faktor prima yang sama dan ambil pangkat terkecil.

• Faktor 3: pangkat terkecil = 3¹
• Faktor 5: pangkat terkecil = 5¹

FPB: 3 × 5 = 15

---

4. FPB dari 56 dan 98

• Faktorisasi prima dari 56 = 2³ × 7
• Faktorisasi prima dari 98 = 2 × 7²

Langkah:
Cari faktor prima yang sama dan ambil pangkat terkecil.

• Faktor 2: pangkat terkecil = 2¹
• Faktor 7: pangkat terkecil = 7¹

FPB: 2 × 7 = 14

---

5. FPB dari 81 dan 54

• Faktorisasi prima dari 81 = 3⁴
• Faktorisasi prima dari 54 = 2 × 3³

Langkah:
Cari faktor prima yang sama dan ambil pangkat terkecil.

• Faktor 3: pangkat terkecil = 3³

FPB: 3³ = 27

---

Dengan faktorisasi prima, langkah-langkah lebih ringkas, hanya perlu mencari faktor prima dari kedua bilangan, lalu memilih pangkat terkecil dari faktor yang sama untuk menghitung FPB.